Cho \(\Delta ABC\). Hãy chứng minh:
S\(\Delta ABC\) = \(\frac{1}{2}.AB.AC.cosA\)
= \(\frac{1}{2}.BA.BC.cosB\)
= \(\frac{1}{2}.CA.CB.cosC\)
Cho \(\Delta ABC\).Hãy chứng minh :
S\(\Delta ABC\) = \(\frac{1}{2}.AB.AC.cosA\)
= \(\frac{1}{2}.BC.BA.cosB\)
= \(\frac{1}{2}.CA.CB.cosC\)
Bài 14 : Cho ΔABC . CMR: \(\frac{tanA}{tanB}=\frac{c^2+a^2-b^2}{c^2+b^2-a^2}\)
Bài 15 : Cho ΔABC có \(\frac{c}{b}=\frac{m_b}{m_c}\ne1.CMR:2a^2=b^2+c^2\)
Bài 16: Cho ΔABC có b + c =2a . CMR : \(\frac{2}{h_a}=\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\)
Bài 17: Cho ΔABC . CMR : S = Pr(sinA+sinB+sinC)
Bài 18: Cho ΔABC có \(a^4=b^4+c^4.CMR:a^2< b^2+c^2.\)Suy ra ΔABC nhọn
Bài 19:Cho ΔABC . CMR: cotA+cotB+cotC = \(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)R}{abc}\)
Bài 20 : Cho ΔABC có a=2bc.cosC . ΔABC có đặc điểm gì
b. Chứng minh
\(1.bc.cosA+ca.cosB+ab.cosC=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(2,\frac{1}{r}=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\)
Bài 14.
Áp dụng định lí hàm số Cô sin, ta có:
\(\dfrac{{{\mathop{\rm tanA}\nolimits} }}{{\tan B}} = \dfrac{{\sin A.\cos B}}{{\cos A.\sin B}} = \dfrac{{\dfrac{a}{{2R}}.\dfrac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{2ac}}}}{{\dfrac{b}{{2R}}.\dfrac{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}{{2bc}}}} = \dfrac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}} \)
Bài 19.
Áp dụng định lí sin và định lí Cô sin, ta có:
\( \cot A + \cot B + \cot C\\ = \dfrac{{R\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}}{{abc}} + \dfrac{{R\left( {{c^2} + {a^2} - {b^2}} \right)}}{{abc}} + \dfrac{{R\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)}}{{abc}} = \dfrac{{R\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{abc}}\left( {dpcm} \right) \)
Bài 16.
Đối với tam giác ABC ta có: \(S = \dfrac{1}{2}ab\sin C = \dfrac{1}{2}{h_C}.c = \dfrac{{abc}}{{4R}} \)
Ta suy ra \({h_c} = \dfrac{{ab}}{{2R}} \). Tương tự ta có \({h_b} = \dfrac{{ac}}{{2R}},{h_a} = \dfrac{{bc}}{{2R}} \)
Do đó:
\(\dfrac{1}{{{h_b}}} + \dfrac{1}{{{h_c}}} = 2R\left( {\dfrac{1}{{ac}} + \dfrac{1}{{ab}}} \right) = 2R\dfrac{{b + c}}{{abc}}\ \)mà $b + c = 2a$
Nên \(\dfrac{1}{{{h_b}}} + \dfrac{1}{{{h_c}}} = \dfrac{{2R.2a}}{{abc}} = \dfrac{{2R.2}}{{bc}} = \dfrac{2}{{{h_a}}} \)
Vậy \(\dfrac{2}{{{h_a}}} = \dfrac{1}{{{h_b}}} + \dfrac{1}{{{h_c}}} \)
1 cho \(\Delta\) ABC chứng minh sin\(\frac{A}{2}\) . sin\(\frac{B}{2}\) .sin\(\frac{C}{2}\) \(\le\) \(\frac{1}{8}\)
2 cho \(\Delta ABC\) xác định vị trí điểm M trong \(\Delta ABC\) sao cho AM.BC+BM.AC+CM.AB ddatj giá trị nhỏ nhất
Cho\(\Delta ABC\) nhọn,BC=a,CA=b,AB=c.
CMR:
\(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}bc.sinA=\frac{1}{2}ca.sinB=\frac{1}{2}ab.sinC\)
Kẻ 3 đg cao AD,BE,CF của ΔABC
+ \(\left\{{}\begin{matrix}sinA=\frac{BE}{c}\\sinB=\frac{CF}{a}\\sinC=\frac{AD}{b}\end{matrix}\right.\)
+ \(S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot BE\cdot b=\frac{1}{2}\cdot CF\cdot c=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot a\)
\(\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}bc\cdot\frac{BE}{c}=\frac{1}{2}ca\cdot\frac{CF}{a}=\frac{1}{2}ab\cdot\frac{AD}{b}\)
\(\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}bc\cdot sinA=\frac{1}{2}ca\cdot sinB=\frac{1}{2}ab\cdot sinC\)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (Hình 88). Chứng minh:
a) \(\Delta ABC \backsim \Delta HBA\) và \(A{B^2} = BC.BH\)
b) \(\Delta ABC \backsim \Delta HAC\) và \(A{C^2} = BC.CH\)
c) \(\Delta ABH \backsim \Delta CAH\) và \(A{H^2} = BH.CH\)
d) \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\)
a) Xét tam giác ABC và tam giác HBA có:
\(\widehat {BAC} = \widehat {BHA} = 90^\circ ;\,\,\widehat B\) chung
\( \Rightarrow \Delta ABC \backsim \Delta HBA\) (g-g)
\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{HB}} = \frac{{BC}}{{BA}} \Rightarrow A{B^2} = BC.HB\)
b) Xét tam giác ABC và tam giác HAC có:
\(\widehat {BAC} = \widehat {AHC} = 90^\circ ;\,\,\widehat C\) chung
\( \Rightarrow \Delta ABC \backsim \Delta HAC\) (g-g)
\( \Rightarrow \frac{{AC}}{{HC}} = \frac{{BC}}{{AC}} \Rightarrow A{C^2} = BC.CH\)
c) Ta có: \(\Delta ABC \backsim \Delta HBA\) và nên \(\Delta ABH \backsim \Delta CAH\)
\( \Rightarrow \frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}} \Rightarrow A{H^2} = BH.CH\)
d) Ta có:
\(A{B^2} = BC.BH \Rightarrow \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{BC.BH}}\)
\(A{C^2} = BC.CH \Rightarrow \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{BC.CH}}\)
\(A{H^2} = BH.CH \Rightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{BH.CH}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{BC.BH}} + \frac{1}{{BC.CH}}\\ = \frac{1}{{BC}}.\left( {\frac{1}{{BH}} + \frac{1}{{CH}}} \right)\\ = \frac{1}{{BC}}.\frac{{BH + CH}}{{BH.CH}}\\ = \frac{1}{{BC}}.\frac{{BC}}{{BH.CH}}\\ = \frac{1}{{BH.CH}}\\ = \frac{1}{{A{H^2}}}\end{array}\)
Cho \(\Delta\)ABC,các đường trung tuyến AM,BE,CF cắt nhau tại G
a)Chứng minh:S\(\Delta\)BAG=\(\dfrac{1}{3}\)S\(\Delta\)ABC
b)Chứng minh S\(\Delta\)ABG=S\(\Delta\)ACG=S\(\Delta\)BCG
Cho \(\Delta ABC\)nhọn. Chứng minh:
\(a,S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A\)
\(b,\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\)
\(c,a^2=b^2+c^2-2bc.\cos A\)
a) Kẻ \(CE\perp AB\)
Ta có : \(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}CE.AB\left(1\right)\)
Xét \(\Delta ACE\)có \(\sin A=\frac{EC}{AC}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}AB.AC.\sin A=\frac{1}{2}AB.AC.\frac{EC}{AC}=\frac{1}{2}AB.EC\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A\left(đpcm\right)\)
b) Kẻ \(BD\perp AC\)
Xét \(\Delta ADB\)có \(\sin A=\frac{BD}{AB}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=BC\div\frac{BD}{AB}=\frac{BC.AB}{BD}\left(3\right)\)
Lại có : \(\sin A=\frac{EC}{AC}\)( câu a )
\(\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=BC\div\frac{EC}{AC}=\frac{CA.BC}{EC}\left(4\right)\)
Xét \(\Delta BEC\)có \(\sin B=\frac{EC}{BC}\)
\(\Rightarrow\frac{b}{\sin B}=CA\div\frac{EC}{BC}=\frac{CA.BC}{EC}\left(5\right)\)
Xét \(\Delta BDC\)có \(\sin C=\frac{DB}{BC}\)
\(\Rightarrow\frac{c}{\sin C}=AB\div\frac{DB}{BC}=\frac{AB.BC}{DB}\left(6\right)\)
Từ (3) ; (4) ; (5) và (6) \(\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\left(đpcm\right)\)
c) Xét \(\Delta ABD\)có \(\cos A=\frac{AD}{AB}\)
Áp dụng định lí Py-ta-go cho \(\Delta ABD\)vuông tại D ta được :
\(AB^2=BD^2+AD^2\)
Áp dụng định lí Py-ta-go cho \(\Delta BDC\)vuông tại D ta được :
\(BD^2+DC^2=BC^2\)
Ta có : \(b^2+c^2-2bc.\cos A\)
\(=AB^2+AC^2-2AB.AC.\cos A\)
\(=BD^2+AD^2+AC^2-2AB.AC.\frac{AD}{AB}\)
\(=BD^2+\left(AC^2-2AD.AC+AD^2\right)\)
\(=BD^2+\left(AC-AD\right)^2\)
\(=BD^2+DC^2\)
\(=BC^2=a\left(đpcm\right)\)
Chứng minh công thức diện tính tam giác: \(S\Delta ABC=\frac{1}{2}.a.b.SinC=\frac{1}{2}.c.b.SinA=\frac{1}{2}.a.c.SinB\)
1. Cho ΔABC vuông tại A có diện tích S không đổi. Gọi P là chu vi ΔABC. Tìm Min P.
2. Cho trước 3 đoạn thẳng a,b,c. Dựng đoạn thẳng thứ 4 (x) sao cho \(\frac{1}{x^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)
@Nguyễn Huy Tú, @Akai Haruma, @Phùng Tuệ Minh, @tran nguyen bao quan, @Nguyễn Thị Ngọc Thơ
Giúp e vs ạ!
E cảm ơn !
Luân Đào, tran nguyen bao quan, Nguyễn Thị Diễm Quỳnh,
Ribi Nkok Ngok, Nguyễn Huy Tú, Akai Haruma, Lightning Farron,
Nguyễn Thanh Hằng, Mysterious Person, Nguyễn Thị Ngọc Thơ,
?Amanda?, Hoàng Đình Bảo, Hoàng Tử Hà
giúp e vs ạ! Gấp lắm!